- 1. Ley de Gauss de la electricidad
- 2. Ley del magnetismo de Gauss
- 3. Ley de inducción de Faraday
- 4. Ley de Ampere
Las ecuaciones de Maxwell son los fundamentos de la teoría electromagnética, que constituye un conjunto de cuatro ecuaciones que relacionan los campos eléctrico y magnético. En lugar de enumerar la representación matemática de las ecuaciones de Maxwell, nos centraremos en cuál es el significado real de esas ecuaciones en este artículo. La primera y segunda ecuación de Maxwell se ocupa de los campos eléctricos estáticos y los campos magnéticos estáticos, respectivamente. La tercera y cuarta ecuación de Maxwell trata sobre los campos magnéticos cambiantes y los campos eléctricos cambiantes, respectivamente.
Las ecuaciones de Maxwell son:
- Ley de Gauss de la electricidad
- Ley de Gauss del magnetismo
- Ley de inducción de Faraday
- Ley de Ampere
1. Ley de Gauss de la electricidad
Esta ley establece que el flujo eléctrico que sale de una superficie cerrada es proporcional a la carga total encerrada por esa superficie. La ley de Gauss se ocupa del campo eléctrico estático.
Consideremos una carga puntual positiva Q. Sabemos que las líneas de flujo eléctrico se dirigen hacia afuera desde la carga positiva.
Consideremos una superficie cerrada con Carga Q encerrada en ella. El vector de área siempre se elige Normal a él porque representa la orientación de la superficie. Sea θ el ángulo formado por el vector de campo eléctrico con el vector de área.
El flujo eléctrico ψ es
La razón para elegir el producto escalar es que necesitamos calcular cuánto flujo eléctrico pasa a través de la superficie representada por un vector de área normal.
De la ley de coulombs, sabemos que el campo eléctrico (E) debido a una carga puntual es Q / 4πε 0 r 2.
Considerando una simetría esférica, la forma integral de la ley de Gauss es:
Por lo tanto, el flujo eléctrico Ψ = Q incluido / ε 0
Aquí, la Q encerrada representa la suma vectorial de todas las cargas dentro de la superficie. La región que encierra la carga puede tener cualquier forma, pero para aplicar la ley de Gauss, tenemos que seleccionar una superficie gaussiana que sea simétrica y tenga una distribución de carga uniforme. La superficie gaussiana puede ser cilíndrica o esférica o plana.
Para derivar su forma diferencial, necesitamos aplicar el teorema de la divergencia.
La ecuación anterior es la forma diferencial de la ley de Gauss o Maxwell ecuación I.
En la ecuación anterior, ρ representa la densidad de carga volumétrica. Cuando tenemos que aplicar la ley de Gauss a una superficie con carga lineal o distribución de carga superficial, es más conveniente representar la ecuación con densidad de carga.
Por lo tanto, podemos inferir que la divergencia de un campo eléctrico sobre una superficie cerrada da la cantidad de carga (ρ) encerrada por él. Al aplicar divergencia a un campo vectorial, podemos saber si la superficie encerrada por el campo vectorial actúa como fuente o sumidero.
Consideremos un cuboide con carga positiva como se muestra arriba. Cuando aplicamos divergencia al campo eléctrico que sale de la caja (cuboide), el resultado de la expresión matemática nos dice que la caja (cuboide) considerada actúa como fuente del campo eléctrico calculado. Si el resultado es negativo, nos dice que la caja actúa como un sumidero, es decir, la caja encierra una carga negativa en ella. Si la divergencia es cero, significa que no hay carga en ella.
De esto, podríamos inferir que existen monopolos eléctricos.
2. Ley del magnetismo de Gauss
Sabemos que la línea de flujo magnético fluye desde el polo norte al polo sur externamente.
Dado que hay líneas de flujo magnético debido a un imán permanente, habrá una densidad de flujo magnético asociada (B) del mismo. Cuando aplicamos el teorema de divergencia a la superficie S1, S2, S3 o S4, vemos que el número de líneas de flujo que entran y salen de la superficie seleccionada permanece igual. Por tanto, el resultado del teorema de la divergencia es cero. Incluso en la superficie S2 y S4, la divergencia es cero, lo que significa que ni el polo norte ni el polo sur actúan individualmente como fuente o sumidero como las cargas eléctricas. Incluso cuando aplicamos la divergencia del campo magnético (B) debido a un cable portador de corriente, resulta ser cero.
La forma integral de la ley del magnetismo de Gauss es:
La forma diferencial de la ley del magnetismo de Gauss es:
De esto, podríamos inferir que los monopolos magnéticos no existen.
3. Ley de inducción de Faraday
La ley de Faraday establece que cuando hay un cambio en el flujo magnético (que cambia con respecto al tiempo) que une una bobina o cualquier conductor, se inducirá un EMF en la bobina. Lenz declaró que la EMF inducida estará en una dirección tal que se oponga al cambio en el flujo magnético que la produce.
En la ilustración anterior, cuando una placa conductora o un conductor se somete a la influencia de un campo magnético cambiante, se induce una corriente circulante en él. La corriente se induce en una dirección tal que el campo magnético producido por ella se opone al cambio magnético que la creó. A partir de esta ilustración, está claro que el campo magnético cambiante o variable crea un campo eléctrico circulante.
De la ley de Faraday, emf = - dϕ / dt
Lo sabemos, ϕ = superficie cerrada ʃ B. dS fem = - (d / dt) ʃ B. dS
Campo eléctrico E = V / d
V = ʃ E.dl
Dado que el campo eléctrico está cambiando con respecto a la superficie (rizo), existe una diferencia de potencial V.
Por lo tanto, la forma integral de la cuarta ecuación de Maxwell es,
Aplicando el teorema de Stoke,
La razón para aplicar el teorema de Stoke es que cuando tomamos un rizo de un campo giratorio sobre una superficie cerrada, los componentes del rizo interno del vector se cancelan entre sí y esto da como resultado la evaluación del campo vectorial a lo largo del camino cerrado.
Por lo tanto, podemos escribir eso,
La forma diferencial de la ecuación de Maxwell es
De la expresión anterior, queda claro que un campo magnético que cambia con respecto al tiempo produce un campo eléctrico circulante.
Nota: En electrostática, la curvatura de un campo eléctrico es cero porque emerge radialmente hacia afuera de la carga y no tiene ningún componente giratorio asociado.
4. Ley de Ampere
La ley de Ampere establece que cuando una corriente eléctrica fluye a través de un cable, produce un campo magnético a su alrededor. Matemáticamente, la integral de línea del campo magnético alrededor de un circuito cerrado da la corriente total encerrada por él.
ʃ B .dl = μ 0 I incluido
Dado que el campo magnético se enrosca alrededor del cable, podemos aplicar el teorema de Stoke a la ley de Ampere.
Por lo tanto, la ecuación se convierte en
Podemos representar la corriente encerrada en términos de densidad de corriente J.
B = μ 0 H al usar esta relación, podemos escribir la expresión como
Cuando aplicamos divergencia al rizo de un campo vectorial giratorio, el resultado es cero. Es porque la superficie cerrada no actúa como fuente o sumidero, es decir, el número de flujo que entra y sale de la superficie es el mismo. Esto se puede representar matemáticamente como,
Consideremos un circuito como se ilustra a continuación.
El circuito tiene un condensador conectado. Cuando aplicamos divergencia en la región S1, el resultado muestra que no es cero. En notación matemática,
Hay un flujo de corriente en el circuito, pero en el condensador, las cargas se transfieren debido al cambio de campo eléctrico a través de las placas. Así que físicamente la corriente no fluye a través de él. Maxwell acuñó este flujo eléctrico cambiante como Corriente de desplazamiento (J D). Pero Maxwell acuñó el término Corriente de desplazamiento (J D) considerando la simetría de la ley de Faraday, es decir, si un campo magnético que cambia en el tiempo produce un campo eléctrico, entonces, por simetría, el campo eléctrico cambiante produce un campo magnético.
La curva de la intensidad del campo magnético (H) en la región S1 es
La forma integral de la cuarta ecuación de Maxwell se puede expresar como:
La forma diferencial de la cuarta ecuación de Maxwell es:
Todas estas cuatro ecuaciones, ya sea en forma integral o en forma diferencial juntas, se denominan Ecuación de Maxwell.