- Filtros analógicos o digitales
- Filtros activos o pasivos
- Filtros basados en audio o radiofrecuencia
- Filtros basados en la selección de frecuencia
- Filtro Butterworth de paso bajo de primer orden
- Filtro de paso bajo Butterworth de segundo orden
- Derivación de filtro Butterworth de paso bajo de segundo orden - Alitro
Los filtros eléctricos tienen muchas aplicaciones y se utilizan ampliamente en muchos circuitos de procesamiento de señales. Se utiliza para elegir o eliminar señales de frecuencia seleccionada en un espectro completo de una entrada determinada. Por tanto, el filtro se utiliza para permitir que las señales de la frecuencia elegida pasen a través de él o eliminar las señales de la frecuencia elegida que lo atraviesen.
En la actualidad, hay muchos tipos de filtros disponibles y se diferencian de muchas formas. Y hemos cubierto muchos filtros en tutoriales anteriores, pero la diferenciación más popular se basa en,
- Analógico o digital
- Activo o pasivo
- Audio o radiofrecuencia
- Selección de frecuencia
Filtros analógicos o digitales
Sabemos que las señales generadas por el entorno son de naturaleza analógica, mientras que las señales procesadas en circuitos digitales son de naturaleza digital. Tenemos que utilizar los filtros correspondientes para señales analógicas y digitales para obtener el resultado deseado. Así que tenemos que usar filtros analógicos mientras procesamos señales analógicas y usar filtros digitales mientras procesamos señales digitales.
Filtros activos o pasivos
Los filtros también se dividen en función de los componentes utilizados al diseñar los filtros. Si el diseño del filtro se basa completamente en componentes pasivos (como resistencia, condensador e inductor), entonces el filtro se llama filtro pasivo. Por otro lado, si usamos un componente activo (amplificador operacional, fuente de voltaje, fuente de corriente) mientras diseñamos un circuito, entonces el filtro se llama filtro activo.
Más popularmente, aunque se prefiere un filtro activo sobre uno pasivo, ya que tienen muchas ventajas. Algunas de estas ventajas se mencionan a continuación:
- Sin problema de carga: sabemos que en un circuito activo usamos un amplificador operacional que tiene una impedancia de entrada muy alta y una impedancia de salida baja. En ese caso, cuando conectamos un filtro activo a un circuito, la corriente consumida por el amplificador operacional será muy insignificante, ya que tiene una impedancia de entrada muy alta y, por lo tanto, el circuito no experimenta ninguna carga cuando el filtro está conectado.
- Flexibilidad de ajuste de ganancia: en los filtros pasivos, la ganancia o amplificación de la señal no es posible ya que no habrá componentes específicos para realizar dicha tarea. Por otro lado, en un filtro activo, tenemos un amplificador operacional que puede proporcionar alta ganancia o amplificación de señal a las señales de entrada.
- Flexibilidad de ajuste de frecuencia: los filtros activos tienen una mayor flexibilidad al ajustar la frecuencia de corte en comparación con los filtros pasivos.
Filtros basados en audio o radiofrecuencia
Los componentes utilizados en el diseño del filtro cambian según la aplicación del filtro o el lugar donde se utiliza la configuración. Por ejemplo, los filtros RC se utilizan para aplicaciones de audio o de baja frecuencia, mientras que los filtros LC se utilizan para aplicaciones de radio o de alta frecuencia.
Filtros basados en la selección de frecuencia
Los filtros también se dividen en función de las señales que pasan a través del filtro.
Filtro de paso bajo:
Todas las señales por encima de las frecuencias seleccionadas se atenúan. Son de dos tipos: filtro de paso bajo activo y filtro de paso bajo pasivo. La respuesta de frecuencia del filtro de paso bajo se muestra a continuación. Aquí, el gráfico de puntos es el gráfico de filtro de paso bajo ideal y un gráfico limpio es la respuesta real de un circuito práctico. Esto sucedió porque una red lineal no puede producir una señal discontinua. Como se muestra en la figura, después de que las señales alcanzan la frecuencia de corte fH, experimentan atenuación y después de cierta frecuencia más alta, las señales dadas en la entrada se bloquean por completo.
Filtro de paso alto:
Todas las señales por encima de las frecuencias seleccionadas aparecen en la salida y una señal por debajo de esa frecuencia se bloquea. Son de dos tipos: filtro de paso alto activo y filtro de paso alto pasivo. La respuesta de frecuencia de un filtro de paso alto se muestra a continuación. Aquí, un gráfico de puntos es el gráfico de filtro de paso alto ideal y un gráfico limpio es la respuesta real de un circuito práctico. Esto sucedió porque una red lineal no puede producir una señal discontinua. Como se muestra en la figura, hasta que las señales tengan una frecuencia superior a la frecuencia de corte fL, experimentan atenuación.
Filtro de paso de banda:
En este filtro, solo las señales del rango de frecuencia seleccionado pueden aparecer en la salida, mientras que las señales de cualquier otra frecuencia se bloquean. La respuesta de frecuencia del filtro de paso de banda se muestra a continuación. Aquí, el gráfico de puntos es el gráfico de filtro de paso de banda ideal y un gráfico limpio es la respuesta real de un circuito práctico. Como se muestra en la figura, las señales en el rango de frecuencia de fL a fH pueden pasar a través del filtro mientras que las señales de otras frecuencias experimentan atenuación. Obtenga más información sobre el filtro de paso de banda aquí.
Filtro de rechazo de banda:
La función de filtro de rechazo de banda es exactamente lo opuesto al filtro de paso de banda. Todas las señales de frecuencia que tienen un valor de frecuencia en el rango de banda seleccionado proporcionado en la entrada son bloqueadas por el filtro, mientras que las señales de cualquier otra frecuencia pueden aparecer en la salida.
Todos pasan filtro:
Se permite que las señales de cualquier frecuencia pasen a través de este filtro, excepto que experimenten un cambio de fase.
Según la aplicación y el costo, el diseñador puede elegir el filtro apropiado entre varios tipos diferentes.
Pero aquí puede ver en los gráficos de salida que los resultados deseados y reales no son exactamente iguales. Aunque este error está permitido en muchas aplicaciones, a veces necesitamos un filtro más preciso cuyo gráfico de salida tiende más hacia el filtro ideal. Esta respuesta casi ideal se puede lograr mediante el uso de técnicas de diseño especiales, componentes de precisión y amplificadores operacionales de alta velocidad.
Butterworth, Caur y Chebyshev son algunos de los filtros más utilizados que pueden proporcionar una curva de respuesta casi ideal. En ellos, discutiremos el filtro Butterworth aquí, ya que es el más popular de los tres.
Las principales características del filtro Butterworth son:
- Es un filtro basado en RC (resistencia, condensador) y amplificador operacional (amplificador operacional)
- Es un filtro activo, por lo que la ganancia se puede ajustar si es necesario.
- La característica clave de Butterworth es que tiene una banda de paso plana y una banda de retención plana. Esta es la razón por la que generalmente se le llama 'filtro plano-plano'.
Ahora analicemos el modelo de circuito del filtro Butterworth de paso bajo para una mejor comprensión.
Filtro Butterworth de paso bajo de primer orden
La figura muestra el modelo de circuito del filtro de valor Butter de paso bajo de primer orden.
En el circuito tenemos:
- Voltaje 'Vin' como una señal de voltaje de entrada que es de naturaleza analógica.
- Voltaje 'Vo' es el voltaje de salida del amplificador operacional.
- Las resistencias 'RF' y 'R1' son las resistencias de retroalimentación negativa del amplificador operacional.
- Hay una sola red RC (marcada en el cuadrado rojo) presente en el circuito, por lo tanto, el filtro es un filtro de paso bajo de primer orden.
- 'RL' es la resistencia de carga conectada a la salida del amplificador operacional.
Si usamos la regla del divisor de voltaje en el punto 'V1', entonces podemos obtener el voltaje a través del capacitor como, V 1 = V en Aquí -jXc = 1 / 2ᴫfc
Después de sustituir esta ecuación tendremos algo como a continuación
V 1 = Vi n / (1 + j2ᴫfRC)
Ahora, el amplificador operacional aquí se usa en la configuración de retroalimentación negativa y, para tal caso, la ecuación de voltaje de salida se da como, V 0 = (1 + R F / R 1) V 1.
Esta es una fórmula estándar y puede consultar los circuitos de amplificador operacional para obtener más detalles.
Si enviamos la ecuación V1 a Vo tendremos, V0 = (1 + R F / R 1)
Después de reescribir esta ecuación podemos tener, V 0 / V en = A F / (1 + j (f / f L))
En esta ecuación,
- V 0 / V in = ganancia del filtro en función de la frecuencia
- AF = (1 + R F / R 1) = ganancia de banda de paso del filtro
- f = frecuencia de la señal de entrada
- f L = 1 / 2ᴫRC = frecuencia de corte del filtro. Podemos usar esta ecuación para elegir los valores apropiados de resistencia y capacitor para seleccionar la frecuencia de corte del circuito.
Si convertimos la ecuación anterior a una forma polar tendremos,
Podemos usar esta ecuación para observar el cambio en la magnitud de la ganancia con el cambio en la frecuencia de la señal de entrada.
Caso 1: f <
Entonces, cuando la frecuencia de entrada es muy menor que la frecuencia de corte del filtro, la magnitud de la ganancia es aproximadamente igual a la ganancia del bucle del amplificador operacional.
Case2: f = f L. Si la frecuencia de entrada es igual a la frecuencia de corte del filtro, entonces,
Entonces, cuando la frecuencia de entrada es igual a la frecuencia de corte del filtro, la magnitud de la ganancia es 0.707 veces la ganancia del bucle del amplificador operacional.
Caso 3: f> f L. Si la frecuencia de entrada es mayor que la frecuencia de corte del filtro, entonces,
Como puede ver en el patrón, la ganancia del filtro será la misma que la ganancia del amplificador operacional hasta que la frecuencia de la señal de entrada sea menor que la frecuencia de corte. Pero una vez que la frecuencia de la señal de entrada alcanza la frecuencia de corte, la ganancia disminuye marginalmente como se ve en el caso dos. Y a medida que la frecuencia de la señal de entrada aumenta aún más, la ganancia disminuye gradualmente hasta llegar a cero. Entonces, el filtro Butterworth de paso bajo permite que la señal de entrada aparezca en la salida hasta que la frecuencia de la señal de entrada sea menor que la frecuencia de corte.
Si hemos dibujado el gráfico de respuesta de frecuencia para el circuito anterior, tendremos,
Como se ve en el gráfico, la ganancia será lineal hasta que la frecuencia de la señal de entrada cruce el valor de la frecuencia de corte y una vez que suceda, la ganancia disminuirá considerablemente, al igual que el valor del voltaje de salida.
Filtro de paso bajo Butterworth de segundo orden
La figura muestra el modelo de circuito del filtro de paso bajo Butterworth de segundo orden.
En el circuito tenemos:
- Voltaje 'Vin' como una señal de voltaje de entrada que es de naturaleza analógica.
- Voltaje 'Vo' es el voltaje de salida del amplificador operacional.
- Las resistencias 'RF' y 'R1' son las resistencias de retroalimentación negativa del amplificador operacional.
- Hay una red RC doble (marcada en un cuadrado rojo) presente en el circuito, por lo tanto, el filtro es un filtro de paso bajo de segundo orden.
- 'RL' es la resistencia de carga conectada a la salida del amplificador operacional.
Derivación de filtro Butterworth de paso bajo de segundo orden
Los filtros de segundo orden son importantes porque los filtros de orden superior se diseñan con ellos. La ganancia del filtro de segundo orden se establece mediante R1 y RF, mientras que la frecuencia de corte f H está determinada por los valores de R 2, R 3, C 2 y C 3. La derivación de la frecuencia de corte se da como sigue, f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2
La ecuación de ganancia de voltaje para este circuito también se puede encontrar de manera similar a la anterior y esta ecuación se da a continuación,
En esta ecuación,
- V 0 / V in = ganancia del filtro en función de la frecuencia
- A F = (1 + R F / R 1) ganancia de banda de paso del filtro
- f = frecuencia de la señal de entrada
- f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2 = frecuencia de corte del filtro. Podemos usar esta ecuación para elegir los valores apropiados de resistencia y capacitor para seleccionar la frecuencia de corte del circuito. Además, si elegimos la misma resistencia y condensador en la red RC, la ecuación se convierte en,
Podemos la ecuación de ganancia de voltaje para observar el cambio en la magnitud de la ganancia con el correspondiente cambio en la frecuencia de la señal de entrada.
Caso 1: f <
Entonces, cuando la frecuencia de entrada es muy menor que la frecuencia de corte del filtro, la magnitud de la ganancia es aproximadamente igual a la ganancia del bucle del amplificador operacional.
Case2: f = f H. Si la frecuencia de entrada es igual a la frecuencia de corte del filtro, entonces,
Entonces, cuando la frecuencia de entrada es igual a la frecuencia de corte del filtro, la magnitud de la ganancia es 0.707 veces la ganancia del bucle del amplificador operacional.
Caso 3: f> f H. Si la frecuencia de entrada es realmente más alta que la frecuencia de corte del filtro, entonces,
Similar al filtro de primer orden, la ganancia del filtro será la misma que la ganancia del amplificador operacional hasta que la frecuencia de la señal de entrada sea menor que la frecuencia de corte. Pero una vez que la frecuencia de la señal de entrada alcanza la frecuencia de corte, la ganancia disminuye marginalmente como se ve en el caso dos. Y a medida que la frecuencia de la señal de entrada aumenta aún más, la ganancia disminuye gradualmente hasta llegar a cero. Por tanto, el filtro Butterworth de paso bajo permite que la señal de entrada aparezca en la salida hasta que la frecuencia de la señal de entrada sea menor que la frecuencia de corte.
Si dibujamos el gráfico de respuesta de frecuencia para el circuito anterior tendremos,
Ahora es posible que se pregunte dónde está la diferencia entre el filtro de primer orden y el filtro de segundo orden. La respuesta está en el gráfico, si observa con atención, puede ver que después de que la frecuencia de la señal de entrada cruza la frecuencia de corte, el gráfico sufre una fuerte caída y esta caída es más evidente en el segundo orden en comparación con el primer orden. Con esta inclinación pronunciada, el filtro Butterworth de segundo orden estará más inclinado hacia el gráfico de filtro ideal en comparación con un filtro Butterworth de orden único.
Esto es lo mismo para el filtro de paso bajo Butterworth de tercer orden, el filtro de paso bajo Butterworth de cuarto orden y así sucesivamente. Cuanto mayor sea el orden del filtro, más se inclinará el gráfico de ganancia hacia un gráfico de filtro ideal. Si dibujamos el gráfico de ganancia para filtros Butterworth de orden superior, tendremos algo como esto,
En el gráfico, la curva verde representa la curva de filtro ideal y puede ver como el orden del filtro de Butterworth aumenta, su gráfico de ganancia se inclina más hacia la curva ideal. Por tanto, cuanto más alto sea el orden del filtro Butterworth elegido, más ideal será la curva de ganancia. Dicho esto, no puede elegir un filtro de orden superior fácilmente ya que la precisión del filtro disminuye con un aumento en el orden. Por lo tanto, es mejor elegir el orden de un filtro sin perder de vista la precisión requerida.
Derivación de filtro Butterworth de paso bajo de segundo orden - Alitro
Después de que se publicó el artículo, recibimos un correo de Keith Vogel, que es un ingeniero eléctrico jubilado. Se había dado cuenta de un error ampliamente difundido en la descripción de un 2 nd filtro de paso bajo pedido y ofrecido su explicación para corregirlo es el siguiente.
Así que déjame hacerlo bien:
Y luego vaya a decir que la frecuencia de corte de -6db está descrita por la ecuación:
f c = 1 / (
Sin embargo, ¡esto simplemente no es cierto! Hagamos que me crea. Hagamos un circuito donde R1 = R2 = 160 y C1 = C2 = 100nF (0.1uF). Dada la ecuación, deberíamos tener una frecuencia de -6db de:
f c = 1 / (
Sigamos adelante y simulemos el circuito y veamos dónde está el punto -6db:
Oh, simula a 6.33kHz NO 9.947kHz; ¡pero la simulación NO ES INCORRECTA!
Para su información, he usado -6.0206db en lugar de -6db porque 20log (0.5) = -6.0205999132796239042747778944899, -6.0206 es un número un poco más cercano que -6, y para obtener una frecuencia simulada más precisa para nuestras ecuaciones, quería usar algo un poco más cercano que solo -6db. Si realmente quisiera lograr la frecuencia descrita por la ecuación, necesitaría almacenar en búfer entre la 1ª y 2ª etapa del filtro. Un circuito más preciso para nuestra ecuación sería:
Y aquí vemos que nuestro punto de -6.0206db simula a 9.945kHz, mucho más cercano a nuestro calculado de 9.947kHZ. ¡Ojalá me creas que hay un error! Ahora hablemos sobre cómo se produjo el error y por qué esto es solo una mala ingeniería.
La mayoría de las descripciones comenzarán con un filtro de paso bajo de primer orden, con la impedancia de la siguiente manera.
Y obtienes una función de transferencia simple de:
H (s) = (1 / sC) / (R + 1 / sC) = 1 / (sRC + 1)
Luego dicen que si usted acaba de poner 2 de ellos juntos para hacer un 2 nd filtro de orden, se obtiene:
H (s) = H 1 (s) * H 2 (s).
Donde H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (sRC + 1)
Lo cual, cuando se calcula, dará como resultado la ecuación fc = 1 / (2π√R1C1R2C2). Aquí está el error, la respuesta de H 1 (s) NO es independiente de H 2 (s) en el circuito, no puede decir H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (sRC + 1).
La impedancia de H 2 (s) afecta la respuesta de H 1 (s). Y, por lo tanto, ¿por qué funciona este circuito, porque el opamp aísla H 2 (s) de H 1 (s)!
Así que ahora voy a analizar el siguiente circuito. Considere nuestro circuito original:
Para simplificar, haré que R1 = R2 y C1 = C2, de lo contrario, las matemáticas se complican mucho. Pero deberíamos poder derivar la función de transferencia real y compararla con nuestras simulaciones para su validación cuando hayamos terminado.
Si decimos, Z 1 = 1 / sC en paralelo con (R + 1 / sC), podemos volver a dibujar el circuito como:
Sabemos que V 1 / V in = Z 1 / (R + Z 1); Donde Z 1 puede ser una impedancia compleja. Y si volvemos a nuestro circuito original, podemos ver Z 1 = 1 / sC en paralelo con (R + 1 / sC)
También podemos ver que Vo / V 1 = 1 / (sRC + 1), que es H 2 (s). Pero H 1 (s) es mucho más complejo, es Z 1 / (R + Z 1) donde Z 1 = 1 / sC - (R + 1 / sC); y NO es 1 / (sRC + 1)!
Así que ahora analicemos las matemáticas de nuestro circuito; para el caso especial de R1 = R2 y C1 = C2.
Tenemos:
V 1 / V en = Z 1 / (R + Z 1) Z 1 = 1 / sC - (R + 1 / sC) = (sRC + 1) / ((sC) 2 R + 2sC) Vo / V 1 = 1 / (sRC + 1)
Y finalmente
Vo / V en = * = * = * = * = *
Aquí podemos ver que:
H 1 (s) = (sRC + 1) / ((sCR) 2 + 3sRC + 1)…
no 1 / (sRC + 1) H 2 (s) = 1 / (sRC + 1)
Y..
Vo / V en = H 1 (s) * H 2 (s) = * = 1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1)
Sabemos que el punto -6db es (
Y sabemos que cuando la magnitud de nuestra función de transferencia está en 0.5, estamos en la frecuencia de -6db.
Así que resolvamos eso:
-Vo / V en - = -1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1) - = 0.5
Sea s = jꙍ, tenemos:
-1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1) - = 0.5 -1 / ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 0.5 - ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - (- (ꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - ((1- (ꙍRC) 2) + 3jꙍRC- = 2
Para encontrar la magnitud, saca la raíz cuadrada del cuadrado de los términos real e imaginario.
raíz cuadrada (((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2) = 2
cuadrar ambos lados:
((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2 = 4
En expansión:
1-2 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 + 9 (ꙍRC) 2 = 4
1 + 7 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 + 1 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 - 3 = 0
Sea x = (ꙍRC) 2
(x) 2 + 7x - 3 = 0
Usar la ecuación cuadrática para resolver x
x = (-7 +/- sqrt (49 - 4 * 1 * (- 3)) / 2 = (-7 +/- sqrt (49 +12) / 2 = (-7 +/-
.. la única respuesta real es el +
Recuerda
x = (ꙍRC) 2
reemplazando x
(ꙍRC) 2 = (
Reemplazando ꙍ con 2
2
f c = (
Feo, puede que no me creas, así que sigue leyendo… Para el circuito original que te di:
f c = (
Si volvemos a nuestra simulación original para este circuito, ¡vimos la frecuencia de -6db a ~ 6.331kHz que se alinea exactamente con nuestros cálculos!
Simule esto para otros valores, verá que la ecuación es correcta.
Podemos ver que cuando almacenamos en búfer entre los dos filtros de paso bajo de primer orden podemos usar la ecuación
f c = 1 / (
Y si R1 = R2 y C1 = C2 podemos usar la ecuación:
f c = 1 /
Pero si no hacemos búfer entre los dos filtros de primer orden, nuestra ecuación (dado R1 = R2, C1 = C2) se convierte en:
f c = (
f c ~ 0,6365 / 2
Advertencia, no intente decir:
f c = 0,6365 / (
Recuerde, H 2 (s) afecta H 1 (s); pero no al revés, los filtros no son simétricos, ¡así que no haga esta suposición!
Entonces, si va a permanecer con su ecuación actual, recomendaría un circuito que sea más como este:
